Глава 2 Комплексные числа , 2b d.

2b d Ключевое слово C ++ virtual может использоваться как функция процесса наследования или как базовый класс (см. описание производных классов [2]). Первый вариант использования описан здесь (перевод статьи [1]). [Виртуальный как функциональный дизайн]. Виртуальные идентификаторы, когда они используются в функции класса, определяют, что эта нестековая функция является виртуальной и поддерживает динамические миссии. Виртуальная идентификация происходит только в начальном объявлении функции неоднородного класса (т.е. если она упоминается в определении класса). Виртуальная функция - это функция, поведение которой может быть заменено наследуемым классом. В отличие от невиртуальных функций, поведение обхода сохраняется, даже если при компиляции нет информации о реальном типе класса. Если производный класс управляется индексом или ссылкой на базовый класс, вызов виртуальной функции overline зависит от поведения, определенного в производном классе. Это поведение подавляется, если функция выбрана с помощью квалифицированного поиска, т.е. если имя функции находится в правой части диапазона. # Включает. struct Base virtual void f() :: cout "base \n " ; > >; struct Derived : Base void f() override // 'override' здесь опционально :: cout "derived (унаследовано) \n " ; > >; int main () // Вызов virtual-функции по ссылке: Base & br = b; // тип br это Base& Base & dr = d; // тип dr также Base& br.f(); // напечатается "base" dr.f(); // напечатается "derived" // Вызов virtual-функции через указатель: Base * bp = & b; // тип bp это Base* Base * dp = & d; // тип dp также Base* bp -> f(); // напечатается "base" dp -> f(); // напечатается "derived" // Вызов невиртуальной функции: br.Base :: f(); // напечатается "base" dr.Base :: f(); // напечатается "base" > Функция VF определяется как виртуальная из базового класса, с производными классами, наследующими прямо или косвенно от базового, и самой функцией VF. - имя, - список параметров (но не тип возвращаемого значения), - c v-praper, - re f-prapoons,. Затем эта функция производного класса становится виртуальной (независимо от того, используется ли в утверждении слово virtual key) и переназначает base:: VF (независимо от того, используется ли в утверждении ключевое слово override). Операция переопределения не требует, чтобы Base:: VF был доступен или находился в области видимости (т.е. Base:: VF может быть определен как частный). База (производная от базы) игнорирует индикатор доступа базового класса, чтобы обойти это поведение. Класс B Виртуальная функция void do_f();// Частная функция public: void f () // публичный интерфейс доступа >; struct D : public B void do_f() override; // переназначает B::do_f >; int main () * bp = & d; bp -> f(); // внутри вызывается D::do_f(); > Для каждой виртуальной функции существует конечный обход, который выполняется при вызове виртуальной функции. Виртуальная функция VF в базовом классе является таким конечным обходом, если только производный класс не определит свою собственную версию VF или наследование (через множественное наследование), если он не определит другую функцию, которая обходит VF. struct A virtual void f(); >; // a :: f виртуальный struct B : A void f(); >;// b :: f Заменяет a :: f из класса B struct C : virtual B void f(); >;// c :: f Заменяет a :: f класса c Структура D: виртуальная b<>;// D не предоставляет своего собственного переопределения, поэтому класс D // окончательным переопределением будет B :: F struct E : C, D // E не предоставляет свое переопределение, так что в классе E // конечным переопределителем будет C::f using A :: f; // это не декларация функции, а простое разрешение видимости A::f >; int main () // virtual-вызов, запускающий C::f, конечный переопределитель в e e.E :: f(); // non-virtual вызов, запускающий A::f, которая видна в E > Если функция имеет более одного конечного обхода, в программе возникает ошибка. struct A virtual void f(); >; struct VB1 : virtual A void f(); // переопределяет A::f >; struct VB2 : virtual A void f(); // переопределяет A::f >; // struct error: VB1, VB2 // Здесь ошибка: есть два конечных превышения в A :: F // void f(),. struct Okay : VB1, VB2 void f(); // OK: это конечный переопределитель для A::f >; // struct vb1a: virtual a.<>; // переопределение не объявлено struct Da : VB1a, VB2 // в Da конечным переопределителем A::f будет VB2::f >; Функции с одинаковым именем, но разными списками параметров не переопределяют базовую функцию с тем же именем, а скрывают ее. Базовый класс не контролируется. struct B virtual void f(); >; struct D : B void f( int ); // D::f скроет B::f (не совпадающий список параметров) >; struct D2 : D void f(); // D2::f переопределит B::f (при этом не имеет значения, // что B::f вне области видимости) >; int main () & b_as_b = b; D d; B & d_as_b = d; D & d_as_d = d; D2 d2; B & d2_as_b = d2; D & d2_as_d = d2; b_as_b.f(); // вызовет B::f() d_as_b.f(); // вызовет B::f() d2_as_b.f(); // вызовет D2::f() d_as_d.f(); // Ошибка: система разрешения имен в D найдет только f(int) d2_as_d.f(); // Ошибка: система разрешения имен в D найдет только f(int) > Если функция описана обходом [3], но не обходит виртуальную функцию, в программе возникает ошибка. struct B virtual void f( int ); >; struct D : B virtual void f( int ) override; // OK, D::f(int) переопределяет B::f(int) virtual void f( long ) override; // Ошибка: f(long) не переопределяет B::f(int) >; Если одна функция описана окончательным решением [4], а другая пытается его обойти, то в программе возникает ошибка (C ++ 11):. struct B virtual void f() const final; >; struct D : B void f() const ; // Ошибка: D::f попыталась переопределить B::f >; Функция не является членом класса, а статическая функция не является виртуальной. Шаблоны функций не могут быть объявлены как виртуальные. Это относится только к функциям с одинаковыми критериями. Обычные критерии для членов класса могут быть объявлены как виртуальные. Виртуальные функции (объявленные как виртуальные или перегруженные) не могут иметь никаких связанных с ними ограничений (C ++ 20). struct A virtual void f() requires true ; // Ошибка: virtual-функция с ограничением >; Функции виртуальной борьбы не могут быть обойдены или обойдены какой-либо виртуальной функцией, отличной от Consteval. Аргументы по умолчанию виртуальных функций заменяются во время компиляции. [переменный тип возврата]. Если производная производной функции:: обыгрывает базовую:: F, ее тип возврата должен быть таким же или определен посредничеством. Два типа являются посредниками, если выполняются все следующие требования. - Оба типа являются указателями или ссылками (левосторонние или правосторонние значения) на классы. Многоуровневые указатели или ссылки не допускаются. - Класс Base::f(), используемый ссылкой или указателем, должен быть отдельным и прямо или косвенно доступным для производного класса. - Тип возврата Derived::f() должен быть cv-модифицирован ниже типа возврата base::f(). Класс возвращаемого типа Derived::f должен быть самим Derived или полным типом вместо объявления Derived::f. Когда вызывается виртуальная функция, тип возврата конечного переопределения неявно преобразуется в тип возврата переопределения вызываемой функции. Категория B<>; struct Base virtual void vf1(); virtual void vf2 (); virtual void vf3 (); virtual B * vf4 (); virtual B * vf5 (); >; class D : private B friend struct Derived; // в Derived, класс B это доступная база для D >; Class A;// предварительно объявленный класс с неполным определением типа. struct Derived : public Base void vf1();// виртуальный, переопределяет Base::vf1() void vf2 ( int );// невиртуальный, скрывает Base::vf2() // char vf3();// Ошибка: переопределяет Base::vf3, но по-другому // нет одинакового типа return D * vf4 ();// переопределяет Base::vf4(), имеет единый возвращаемый тип // A* vf5(); // Ошибка: у A неполное определение типа >; int main() &amp; amp; br = d; Derived &dr = d; br. vf1();// вызывает Derived::vf1() br. vf2();// вызывает Base::vf2() // dr.vf2(); // Ошибка: vf2(int) скрывает vf2() B * p = br.vf4(); // вызовет Derived::vf4() и преобразует результат в B* D * q = dr.vf4(); // вызовет Derived::vf4() и не сделает преобразование // результата в B* > [Виртуальный разрушитель]. Даже если деструктор не наследуется, если базовый класс объявляет деструктор виртуальным, производный деструктор переопределяет его. Это позволяет динамически выделяемым объектам полиморфного типа быть абстрагированными через указатели на базовый класс. На основе класса Общественный: виртуальный~ Base() /* освобождает ресурсы базового класса Base */ > >; класс Derived : public Base~ Derived() /* освобождает ресурсы производного класса Derived */ > >; int main () * b = new derived; delete b. // Деструктор базы Base:: from~Base() является виртуальным, // вызывается из Derived::~Производные ().~Derived() освобождает // ресурсы производного класса и вызывает Base::.~Base(), // следуя обычному порядку удаления объектов. > Также, если класс является полиморфным (объявляет или наследует хотя бы одну виртуальную функцию), а его деструктор не является виртуальным, его удаление приведет к неопределенному поведению, независимо от того, будут ли исчерпаны ресурсы, если не будет вызван деструктор производного класса. Полезное руководство заключается в том, что все деструкторы базового класса должны быть публичными и виртуальными или защищенными и невиртуальными. [Что происходит при вызове конструкторов и деструкторов? Если виртуальная функция вызывается прямо или косвенно производителем или разрушителем (включая построение и разборку нестековых членов класса, таких как списки инициализации), и объект, к которому применяется вызов, был произведен или разрушен, то вызванная функция является окончательным обходом для класса и не вводит его повторно в последующий производный класс. Другими словами, во время построения или деградации не существует последующего производного класса. При построении сложных классов с несколькими генетическими секторами, для производителей одной отрасли, полиморфизм ограничивается этим классом и его базовым классом. Вызывая виртуальную функцию (например, используя явный доступ к члену класса), поведение больше не может быть определено. struct V virtual void f(); virtual void g (); >; struct A : virtual V virtual void f(); // A::f это конечный переопределитель V::f в классе A >; struct B : virtual V virtual void g(); // B::g это конечный переопределитель V::g в классе B B(V * , A * ); >; struct D : A, B virtual void f(); // D::f это конечный переопределитель V::f в классе D virtual void g (); // D::g это конечный переопределитель V::g в классе D // замечание: A инициализируется перед B D() : B((A * ) this , this ) >; // Конструктор B вызывается из конструктора D B :: B(V * v, A * a) // virtual-вызов V::f (хотя у D есть конечный переопределитель, D не существует) g(); // virtual-вызов B::g, который конечный переопределитель в B v -> g(); // у v тип V, у которого базовый тип B, и виртуальный вызов запустит B::g, // как и ранее a -> f(); // поскольку тип A не базовый для B, он принадлежит к другой ветви иерархии. // Попытка виртуального вызова через эту ветвь приведет к неопределенному // поведению даже когда A был уже полностью сконструирован в этом случае // (он был сконструирован перед B, поскольку появляется перед B в списке // базовых классов D). На практике виртуальный вызов A::f будет пытаться // использовать таблицу виртуальных функций B, поскольку это то, что // активно в время конструирования B). > [См. также.] 1. функция виртуального сайта: cpprefence. com; 2. C ++: производный класс (наследование); 3. C ++: решение обойти; 4. C ++: окончательная спецификация; 5. C ++: окончательная спецификация; 6. Глава 2 Кластеры. числа Аналогично, когда векторы складываются по отдельности, складываются их координаты: om (a; b) и on (c; d), где om + on = (a + b; c + d). Это означает, что в приведенном выше соответствии один и тот же акт в векторе соответствует акту сложения и абстракции. комплексных чисел Одному и тому же действию в векторе соответствует одно и то же действие в векторе. Другими словами, если числу z соответствует вектору om, тогда а числу w - вектор ON , то числу z + w соответствует вектору om + on, если а числу z - w соответствует вектору om - on. Аналогично, с умножением комплексного числа z из числа действительных. число Затем соответствующий вектор ОМ умножается на него же число . Иными словами, числу AZ соответствует вектору A OM. Действительно, с вектором ОМ A и двумя координатами, а также реальной приятной частью числа z. полярная система скорректированных треугольных формул. комплексных чисел Положение точки на уровне может быть задано различными способами. До сих пор мы работали с вами только в декартовой системе координат. Ознакомьтесь с полярной системой. Полярная система координат состоит из полярных и полярных осей. Каждая точка на плоскости задается двумя координатами (r; ϕ), называемыми полярными координатами; R - длина вектора пятна; ϕ - величина угла, образованного полярным радиусом и радиусом вектора точки. Заметим также заранее, что длина радиус-вектора должна быть измерена и, следовательно, установлена в масштабе. Для получения дополнительной информации см. тему Векторы. В дальнейшем r называется эластичностью и обозначается как ϕ-аргумент. Рисунок 14. комплексное число Запишите в виде z = x + yi треугольник и совместите декартову и полярную системы координат следующим образом. Совместите оси принципа и релаксации и релаксации следующим образом, затем изобразите ту же точку m. комплексное число В декартовой системе координат есть координаты (x; y), в полярной системе координат (r; ϕ). Проектируя конструкцию треугольника obm (нижний om = r, вертикальный bm = y, ob = x), выразим x и y в терминах r и ϕ. x = r cos ϕ, (2. 18) y = r sin ϕ. Итак. комплексное число Пусть z = x + yi записано через r и ϕ: z = r cos ϕ + ir sin ϕ, z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Из треугольника OBM выражает r и ϕ в терминах x и y. r 2 = x 2 + y 2 (теорема Пифагора) r = x 2 + y 2 (знак корня +, так как это длина. (т.е. неотрицательное значение). Кроме того, tg ϕ = y (из определения касательных углов в прямоугольном треугольнике x y). x z = x + yi единичное, соответственно комплексное число z = r (cos ϕ + i sin ϕ), записывается как (2. 19) Где r = x 2 + y 2 = z, ϕ = arctg y = arg z. x и аргумент ϕ определяются только точностью термина, деленной на 2 P. Назовем основной аргумент наименее положительным. Вход. комплексного числа (2. 19) называется треугольной формой. Например, u, u U комплексные числа z + i sin = 2 cos 2 2, = cos13π + i sin 13 1 z2π задается треугольной формой комплексные 18 18 38 p 2 2 z 5 = cos 3 p + i sin 7 числа z 3 = (-2) cos + i sin, z 4 = 3 cos p-i sin ii, ii 5 3 3 3 3 3 4 4 напоминает символизм, но не символизм (2. 19). В тригонометрических формулах. эти числа Она записывается так: 7 7 Z 6 + I SIN 6, Z 4 P + I SIN 4 Z = COS P + I SIN P3 = 2 cos p 4 = 3 cos p, 5 5 5 5 5 3 3 3 3 4 4 u - обратите внимание на свойства треугольной формы комплексного числа : u 1) Первый фактор неотрицателен число 2) Когемит и синус имеют одинаковый аргумент - 3) Приятные единицы умножаются на знак угла Два комплексных числа задан в треугольной форме, единицы равны тогда и только тогда, когда аргументы равны и отличаются на кратное 2 p. Следовательно, r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1) = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2), r 1 = r 2, ϕ 2 = ϕ 1 + 2 p k (k = 0, ± 1, ± 2,). Если. комплексное число z = x + yi задается треугольной формой z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ему число z = x - yi z = r(cos ( - ϕ) + i sin ( - ϕ)) (см. рисунок 16) - поэтому z = z, arg z = -arg z. Рисунок 16 Например, u, u пишет комплексное число z = 5 + i алгебра и уравнение треугольника 2 + 3 I. Решение. Запишите первый указанный число Алгебраическая форма: 5 + i = (5 + i )(2 - 3 i ) = 10 - 15 i + 2 i - 3 i 2 = 10 - 15 i + 2 i + 3 = 13 - 13 i = 1 - i . 2 + 3 i (2 + 3 i )(2 - 3 i ) 4 - 9 i 2 4 + 9 13 Напишите. комплексное число 1 - i в тригонометрической форме с помощью уравнения (2. 19). В этом случае x = 1, y = - 1, r = 2 2 tg ϕ = y - 1 ϕ = - π + 2 π k , k Z . Таким образом, 1 + (-1) = 2 , = 1 so 4 x so arg z = - π + 2 π k , k Z и главный аргумент π + 2 π = 7 π. 4 4 4 4 Следовательно, комплексное число 1 - i имеет следующий тригонометрический вид: 1 - i = 7 π + i sin 7 π 2 cos 4 . 4 Действие. над комплексными С числами, заданными в тригонометрической форме два комплексных числа z 1 и z 2 задаются формами тригонометрических функций z 1 = r(cos ϕ + i sin ϕ ), z 2 = ρ (cos ψ + i sin ψ ) (2. 20) Продукт. комплексных чисел Выполняя умножение чисел (2. 20) дает z 1 z 2 = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) ρ ( cos ψ + i sin ψ ) = = r ρ ( cos ϕ cos ψ + i cos ϕ sin ψ + i sin ϕ cos ψ - sin ϕ sin ψ ) = r ρ (( cos ϕ cos ψ - sin ϕ sin ψ ) + i ( cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ ) = r ρ (( cos ϕ cos ψ - sin ψ ) + i ( cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ ). )) , z 1 z 2 = r ρ ( cos ( ϕ + ψ ) + i sin ( ϕ + ψ ) ) . (2. 21) Из равенства (2. 21) следует, что z 1 z 2 = z 1 z 2 , arg( z 1 z 2 ) = arg( z 1 ) + arg( z 2 ), то есть произведение единицы комплексных чисел является произведением факторов и аргументом произведения этих факторов чисел это сумма аргументов фактора Сумма и разница комплексных чисел даны в тригонометрической форме и не могут быть выражены так же, как формула умножения. Однако в случае аддитивных единиц выполняются следующие важные неравенства комплексных чисел меньше или равно сумме единиц слагаемых, но больше или равно разности этих единиц. Неравенство (2. 22) можно вывести следующим образом: z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) и тригонометрическая форма числа z 1 + z 2 - это z 1 + z 2 = R (cos ψ + i sin ψ ). Сложение действительной и мнимой частей по отдельности дает r 1 cos ϕ 1 + r 2 cos ϕ 2 = R cos ψ и r 1 sin ϕ 1 + r 2 sin ϕ 2 = R sin ψ, а сложение обеих частей и результатов секунд с cos ψ и sin ψ по обе стороны первого равенства дает следующие результаты ) = R ( cos 2 ψ + sin 2 ψ ), т.е. r 1 cos ( ϕ 1 - ψ ) + r 2 cos ( ϕ 2 - ψ ) = R . Поэтому неравенство r 1 + r 2 ≥ R , то есть z 1 + z 2 ≥ z 1 + z 2 , так как косинус никогда не может быть больше 1. С другой стороны, z 1 = ( z 1 + z 2 ) - z 2 = ( z 1 + z 2 ) + ( - z 2 ), но z 1 ≤ z 1 + z 2 + - z 2 = z 1 + z 2 + z 2 , поэтому z 1 - z 2 ≤ z 1 + z 2 . Следует отметить, что для комплексных чисел Понятия "больше" и "меньше" не поддаются логическому определению. эти числа в отличие от реальных. чисел Они лежат не на прямой линии, где точки расположены естественным образом, а на плоскости. Таким образом, они сами комплексные числа (не модули) не могут быть соединены знаком неравенства: кумулята 2 комплексных чисел Пусть заданы комплексные числа (2. 20) и пусть z 2 ≠ 0. Учитывая коэффициент z 1, z 2 = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( cos ψ - i sin ρ ) z 1 = r (cos ϕ + i sin ϕ ) = z 2 ρ ( cos ψ + i sin ψ ) ( cos ψ - i sin ψ ) = r ( cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ ) + i ( sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ ), cos 2 ψ + sin 2 ψ ρ z 1 = r ( cos ( ϕ - ψ ) + i sin ( ϕ - ψ ) ). (2. 23) z 2 ρ Из тригонометрической формы этого коэффициента следует, что z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 = , arg = arg( z 1 ) - arg( z 2 ); z 2 z 2 z 2 , т.е. единица коэффициента комплексных чисел Коэффициент числителя и знаменателя и равен этим аргументам коэффициента чисел Разность аргументов числителя и знаменателя. z 1 = 1 = 1 ( cos 0 + i sin 0 ), z 2 = ρ ( ψ + i sin ψ ) и ρ ≠ 0, уравнение (2. 23) имеет вид 1 = 1 ( cos ( 0 - ψ ) + i sin ( 0 - ψ ) ), ρ z z - 1 = 1 = ρ - 1 ( cos ( - ψ ) + i sin ( - ψ ) ) , (2. 24) z , где 1 - 1 , arg z - 1 = - аргумент z , z - 1 = z , т.е. коэффициент комплексного числа z − 1 , обратного числу z - обратная величина коэффициента числа z , и значения его основных аргументов различны. числа z только знаком . Перейдем к проблеме питания комплексного числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), тригонометрическая форма, где n - натуральное число число Тогда, согласно уравнению (2. 21), получаем ( r (cos ϕ + i sin ϕ ) ) n = r n (cos n ϕ + i sin n ϕ ) (2. 25) Следовательно. комплексного числа Для мощности модуль равен той же мощности, а аргумент умножается на экспоненту. Уравнение (2. 25) справедливо и для отрицательных целых чисел: поскольку z n = ( z - 1 ) n , достаточно использовать следующее выражение для числа z - 1 , тригонометрическая форма которого определяется уравнением (2. 24). Уравнение (2. 25) называется уравнением Муавра. r = 1 (cos ϕ + i sin ϕ ) Обратите внимание на частный случай этого уравнения, когда n = cos n ϕ + i sinn ϕ. (2. 26) Уравнение (2. 26) имеет большое практическое значение. Поэтому удобно использовать частный случай уравнения Муавра (2. 26) для получения тригонометрических выражений для синуса и косинуса кратных углов. Например, U , U дает выражения синуса и косинуса для двойного аргумента; используйте (2. 26) для n = 2. (cos ϕ + i sin ϕ ) 2 = cos 2 ϕ + i sin 2 ϕ , cos 2 ϕ + 2 i sin ϕ cos ϕ + i 2 sin 2 ϕ = cos2 ϕ + i sin 2 ϕ , ( cos 2 ϕ - sin 2 ϕ ) + ( 2sin ϕ cos ϕ ) i = cos2 ϕ + i sin 2 ϕ . Приравняйте действительную и мнимую части комплексных чисел по обе стороны от точки эквивалентности, имеем cos2 ϕ = cos 2 ϕ - sin 2 ϕ , sin 2 ϕ = 2sin ϕ cos ϕ. Извлечение n-квадратных корней Извлечем n-квадратные корни из числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) . Это возможно, и результат число ρ (cos ψ + i sin ψ ), т.е. [ ρ (cos ψ + i sin ψ ) ] n = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ). (2. 27) Применение формулы Муавра к левой части равенства (2. 27) дает ρ n (cos n ψ + i sin n ψ ) = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) ). два комплексных числа Если единицы равны только тогда, когда они равны, то ρ n = r ρ = n r . Тогда из аргументов равенства комплексных чисел 2 π k , k Z , тогда отличается только на 42 n ψ = ϕ + 2 π k ψ = ϕ + 2 π k . Придавая k различных значений n, мы получаем различные значения искомого корня. Действительно, для заданного k = 0, 1, 2, . n - 1 они все разные, потому что существует n значений корня и увеличение k на 1 означает увеличение аргумента на 2 π. Таким образом, для z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), n ϕ + 2 π k + i sin ϕ + 2 π k (2. 28) n z = n r cos n при k = (т.е. от нуля до n - 1). (*) Пусть 0, n - 1 k - произвольные. k = nq + r , для 0 ≤ r ≤ n - 1, ϕ + 2 k π = ϕ + 2 ( nq + r ) π = ϕ + 2 r π + 2 q π , n n n , то есть аргумент для k отличается от аргумента для k = r. на число и кратное 2 p- , таким образом, получается то же значение корня, как если бы k было равно r. То есть, введите (*). Таким образом, если мы извлечем корень степени p из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений; все значения корня n-го порядка лежат в окружности радиуса n z с центром в нуле, которая делит эту окружность на n равных частей. Обратите внимание на корни n-го порядка из действительных чисел. числа Существует также n различных значений для z - допустимыми значениями между ними являются два, одно или ни одного, в зависимости от знака z и четности n. Остальные значения следующие. комплексными . Корень из n имеет только одно значение - ноль. То есть, n 0 = 0. Например, найдите значение кубического корня из U , U . из числа - 8. решение. Представим данное число Применяя уравнение (2. 28) - 8 = 8 ( cos π + i sin π ) в тригонометрической форме, π + 2 k π + i sin π + 2 k π 3 - 8 = 3 8 ( cos π + i sin π ) = 2 cos 3 3 , k = 0, 1, 2 . Последовательно подставляя k = , получаем соответственно три значения 0? - 2 кубического корня из 8. z π + i sin π 0 = 2 cos 3 3 = 1 + i 3 ; z 1 = 2 ( cos π + i sin π ) = - 2 ; z 5 π + i sin 5 π 3 . 2 = 2 cos 3 = 1 - i 3 Из этого примера мы видим, что значение корня является допустимым значением число , два других – комплексные . 2. 4 Корни из 1 Особенно важно при выведении корней порядка p из числа Поскольку этот корень имеет n значений, то, учитывая равенство 1 = cos0 + i sin 0 и уравнение (2. 28), все эти значения, или, как мы говорим, все n-квадратные корни из 1, даются выражением n 1 = cos 2 k π + i sin 2 k π - k = 0, 1, . n - 1. (2. 29) Действительные значения n-квадратных корней из n n 1 задаются k = 0 и n 2, если n четное, и k = 0, если n нечетное. На комплексной На плоскости единичный корень из n лежит на окружности единичного круга, которая делит его на пять равных дуг. Одна из точек разделения реальна. число Невещественные корни порядка от 1 до n симметрично прилегают к вещественной оси, т.е. являются контрсопряженными; квадратный корень из 1 имеет два значения, 1 и - 1, а квадратный корень четвертой степени из 1 имеет четыре значения, 1, - 1, i и - i. Для дальнейшего использования полезно запомнить значения кубического корня из 1. Это, согласно (2. 29) числа cos 2 k 3 π + i sin 2 k 3 π , где k = 0, 1, 2, т.е. сами единицы плюс сопряженная величина числа ε 1 = cos 2 k + i sin 2 k = - 1 + i 3 , 3 3 3 2 2 (2. 30) ε 2 = cos 4 π + i sin 4 π = - 1 - i 3 3 3 2 2 . Верно следующее утверждение U z может 1 Все значения корня степени p из комплексного числа полученное при умножении одного из этих значений на все корни n-го порядка на 1. Действительно, пусть z 1 является одним из значений корня n-го порядка из числа z, т.е. z n = z, а e - любое значение корня из n-октопуса сечения, 1 (z e) т.е. n = 1. Цена n z. 1 1 1 Умножьте z на каждый n-окнотный корень из единицы и вы получите все значения 1 корня числа z. u Пример. u 1) Одно из значений кубического корн я-8 равн о-2. Два других - для (2. 30) числа -2 e 1 = 1-i 3 и-2 e 2 = 1 + i 3. 2) 4 81 имеет четыре значения. -3, 3 i и-3 i. 2 Два сорта N одного сорта N являются одним и тем же одним сортом N каждый. Действительно, если e n = 1 и n = 1, то (eh)n = e n n = 1, обратный корень из n из 1 является корнем из самого n. Действительно, пусть n = 1. Тогда e-1 = 1 - это e n ( e-1) n = 1, т.е. ( e-1) n = 1. Поэтому, обобщая это для получения n-o любой степени, "Корень из единицы часов также является n-ым корнем из единицы. Каждый k-выходной степенной корень модуля является также l-выходным степенным корнем модуля в каждом L-множестве k. Рассматривая весь рад P из 1, мы видим, что некоторые из этих корней уже являются корнями степени один n' - один n' - n', что является делителем от числа n. Однако для каждого n существует один корень из n степени n, который не имеет более низкой степени, чем степень. Такие корни называются одним первичным градиентом n. Их существование обусловлено уравнением (2. 29): если конкретное значение k с e k символизирует значение соответствующего корня (E 0 = 1), то существует E 1 k = e k от типа Муавра. (2. 31) Без оценки. числа Таким образом, e 1 не является 1, так как меньше n. То есть, e 1 = cos 2 p + i sin 2 p - начальный корень. n n n-градусная n-градусная n-градусная n-градусная E - e k, k = 0, 1 ,. n-1, они различны, то есть, если корни e всех степеней исчерпываются. Действительно, если все эти оценки числа e отличаются, то e явно является корнем n степени 1. Например, для 0≤k≤l≤ n-1 e k =εL, ε l-k = 1, т.е. неравенство 1≤ l-k≤ n-1, корень E не выполняется первым. I. Приведенное выше число E 1, как правило, не является единственным первым корнем n. Чтобы найти все эти корни, воспользуйтесь следующей теоремой u. Если u имеет n начальных степеней по n, то то число ε k тогда и только тогда, когда k взаимно простое с n. В самом деле, пусть d - наибольший общий делитель. чисел k и n . Если d >1 и k = dk ', n = dn ', тогда ( ε k ) n ' = ε kn ' = ε k ' n = ( ε n ) k ' = 1 и То есть корень ε k является корнем n ' -го порядка из 1. С другой стороны, если d = 1 и при этом число Мы видим, что ε k является m-квадратным корнем порядка 1 ≤ m e a + bi = e a ( cos b + i sin b ). (2. 32) Математический анализ дает много аргументов в пользу логичности и желательности такого определения, но мы их опустим. Формула Эйлера Полагая a = 0 в определении экспоненциальной функции, получаем cos b + i sin b = e bi Замена b н а-b дает cos b - i sin b = e - bi . Сложение и вычитание этих уравнений дает cos b = e bi + e - bi , sin b = e bi - e - bi и (2. 33) 2 2 2 i, что называется формулой Эйлера. Формула Эйлера определяет связь между тригонометрическими функциями и экспонентами через мнимый коэффициент. Натуральный логарифм комплексного числа Комплексное число z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), заданный в тригонометрической форме, можно записать в виде z = re ϕ i Эта форма символизма комплексного числа называется экспоненциальной формой. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще короче. Кроме того, поскольку z = re ϕ i и e ln r e ϕ i = e ln r + ϕ i , естественно предположить, что ln z = ln r + ϕ i , (2. 34), т.е. действительная часть log комплексного числа логарифм коэффициента, а мнимая часть - знаменатель. Это в некоторой степени объясняет "логарифмическое" свойство аргумента. Аргумент произведения равен сумме аргументов множителя. Логарифмическая функция, введенная таким образом, определена для всего комплексных чисел За исключением нуля. Все, что нужно помнить, это то, что логарифмическая функция оценивается для значений аргументов. Сингулярные значения можно найти, например, выбрав ветвь логарифма, где - π равно 0. Одно из значений ln(- 1) равно π i. - 1 = cos π + i sin π = e π i . Однако ln [ ( - 1) ( - 1) ] = π i + π i = 2 π i . Это значение логарифма 1 (ибо 1 = cos 2 k π + i sin 2 k π ), но отличается от 0. Экспоненциальная функция с произвольным основанием z - комплексное число которая отлична от нуля. Тогда z = e ln z для любого значения ln z. Поэтому естественно предположить, что z w = e w ln z по определению. (2. 35) Это также полиномиальная функция от z. Это связано с полиномом от ln z, который определен точно до общего числа 2 k π i. Посмотрим, например, что U , U равно i i. Используя уравнение (2. 35), получаем i i = e i ln i (в данном случае z = i , w = i ). π + 2 k π lni = i найдено. Отсюда 2 π π + 2 π π i i + 2 π k - π k as - + 2 k π Результат i i = e 2 = e 2 Поэтому lni = i 2 + 2 k π i = e 2 . Это кажется несколько парадоксальным - все значения "сильно воображаемого" выражения i i являются действительными числами.47 2. 6 Вопрос для самооценки 1 Определите комплексного числа . 2 Какое комплексное число называется чисто Отлично; 3 Что означают эти алгебраические формы? комплексного числа ? 4 Какие два комплексных числа Называются ли они противоположностями; 5 Объясните дополнительные значения комплексные числа в алгебраической форме - умножение комплексное число Из реальных; 6 Объясните принцип деления комплексных чисел в алгебраической форме; 7 Что является комплексное число называется сопряженным с точкой отсчета? 8 Напишите целые степени мнимых единиц в общем виде.9 Что понимается под удалением? комплексного числа Алгебраическая форма n-ой степени (где n - натуральное число)? число )? 10 Выведите выражение для нахождения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме.11 Объясните метод комплексные числа На уровне (в частности. чисто мнимые и действительные числа), определять операции сложения, вычитания и умножения с действительными числами. число . 12 Объясните, какая система координат называется полярной и как в ней определяются координаты произвольной точки на плоскости.13 Какая форма обозначений называется тригонометрической? комплексных чисел ? 14 Напишите выражение, связывающее алгебраическую форму обозначения и форму тригонометрической функции. комплексных чисел . 15 Какой аргумент комплексного числа называют хозяином? 16 Назовите закон умножения. комплексных чисел записанные в виде тригонометрической функции.17 Назовите правило для нахождения коэффициента 2 комплексных чисел в виде тригонометрической функции.18 Назовите правило для силы двух. комплексных чисел Это дано в тригонометрической форме.19 Назовите правило извлечения корней из n членов из комплексного числа в тригонометрической форме.20 Объясните понятие n-квадратных корней и его применение.21 Какие корни называются простыми корнями порядка от 1 до n? 22 В каком случае n-й корень является первообразной? 23 Равнение на. число от одного из первичных корней n-го порядка? 24 Напишите формулу Эйлера.25 Что такое символизм? комплексного числа называется формой власти? Ответы к упражнению 536 по алгебре 7: Мерзляк А. Г. Факторизация: 1) b^2 - d^2, 2) x^2 - 1, 3) - x^2 + 1, 4) 36 - c^2, 5) 4 - 25a^2, 6) 49a ^2 - 100, 7) 900 - 81k^2, 8) 16x^2 - 121y^2, 9) b^2c^2 - 1, 10) 1/4 x^2 - 1/9 y^2, 11 ) - 4a^2b^2 + 25, 12) 144x^2y^2 - 400, 13) a^2b^2c^2 - 1, 14) 100a^2 - 0. 01b^2, 15) a^4 - b ^2 , 16) p^2t^2 - 0. 36k^2d^2, 17) y^10 - 9, 18) 4x^12 - 111/25 y^16. решение квадратных уравнений Квадратичные уравнения изучаются во втором классе средней школы, поэтому в них нет ничего сложного. Знание того, как их решать, абсолютно необходимо. - это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c произвольные. числа , причем a ≠ 0. Прежде чем рассматривать конкретные методы решения, отметим, что все квадратные уравнения можно разделить на три категории У них нет корней. Они имеют ровно один корень, и Они имеют два разных корня. Это важное различие между квадратичными и линейными уравнениями, где корни всегда присутствуют и единственны. Как определить количество корней в уравнении? Для этого существует замечательная вещь, называемая различимостью. Дискриминация. Пусть квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0. число D = b 2 − 4 ac . Вам необходимо запомнить это уравнение. Откуда он берется, уже не важно. Важно то, что по знаку дискриминанта можно определить количество корней в квадратном уравнении. В частности: для Если D D = 0, существует только один корень и Если D >0, есть два корня. Примечание: Подстрочный индекс указывает на количество корней, а не на знак, как многие почему-то считают. Пример показывает, что x 2 - 8 x + 12 = 0,. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0, и x 2 - 6 x + 9 = 0. Запишите коэффициенты первого уравнения и найдите дискриминант уравнения: α = 1, β = -8, γ = 12- D = (-8) 2 - 4 - 1 - 12 = 64 - 48 = 16 Следовательно, дискриминант уравнения положительный и уравнение имеет два разных корня. Аналогично анализируется второе уравнение: α = 5, β = 3, γ = 7, Δ = 3 2 - 4 - 5 - 7 = 9 - 140 = -131. Дискриминантное уравнение отрицательное и не имеет корней. Осталось последнее уравнение: α = 1, β = -6, γ = 9, Δ = (-6) 2 - 4 - 1 - 9 = 36 - 36 = 0. Дискриминант равен нулю - корни равны единице. Обратите внимание, что коэффициенты написаны для каждого уравнения. Да, это требует времени, да, это утомительно - но не путайте коэффициенты и не делайте глупых ошибок. Выбор за вами: скорость или качество. Кстати, через некоторое время, если привыкнуть, отпадает необходимость писать все коэффициенты. Эти операции выполняются в вашей голове. Большинство людей начинают делать это после решения примерно 50-70 уравнений, но обычно не так много. Корни квадратных уравнений Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D >0, то для нахождения корней можно использовать следующие уравнения Если D = 0, тот же результат можно получить, используя любое из этих уравнений. же число Вот и ответ. Наконец, если D x 2 - 2 x - 3 = 0, и 15 - 2 x - x 2 = 0, и x 2 + 12 x + 36 = 0. Первое уравнение имеет вид x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = -2, c = -3, D = (-2) 2 - 4 - 1 - (-3) = 16. D >0 ⇒ Уравнение имеет два корня. Давайте найдем их:. Второе уравнение: 15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = -1, b = -2, c = 15, D = (-2) 2 - 4 - (-1) - 15 = 64. D >0 ⇒ Уравнение снова имеет два корня. Мы находим их. Наконец, третье уравнение: x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36, D = 12 2 - 4 - 1 - 36 = 0. D = 0 ⇒ Уравнение имеет один корень. Можно использовать любой тип. Например, первый пример : Как видно из примера, все очень просто. Вам нужно только знать формулу и как ее рассчитать. Наиболее распространенная ошибка возникает при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. И вот тут-то и пригодится вышеописанный прием. Если смотреть на формулу буквально и записывать каждый шаг, можно быстро устранить ошибки. Неполные квадратные уравнения Квадратичные уравнения могут несколько отличаться от приведенных в определении. Например. × 2 + 9 × = 0,. × 2 - 16 = 0. Нетрудно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются еще проще, чем стандартные уравнения. Не требуется даже вычисление дискриминантного уравнения. Теперь введем новое понятие. Уравнение ax 2 + bx + c = 0 выполняется, когда b = 0 или c = 0, т.е. когда коэффициент переменной x или свободного элемента равен нулю. Конечно, может быть очень сложный случай, когда оба коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. = 0. Рассмотрим другой случай: если b = 0, то получается неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Давайте немного трансформируем это. Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел числа последнее равенство имеет смысл только в том случае, если (- c / a ) ≥ 0. Если неравенству (- c / a ) ≥ 0 удовлетворяет неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, то оно имеет два корня. Уравнение приведено выше и Если (- c / a ) Как видите, не потребовалось никакой разборчивости - в неполном квадратном уравнении нет сложных вычислений. На самом деле, вам даже не нужно помнить неравенство (-C / A) ≥ 0. Если оно положительно число - Есть два корня. Если он отрицательный, то корней нет вообще. Далее разберемся с уравнением формы Ax 2 + Bx = 0, где свободные элементы равны нулю. Это просто. Всегда есть два корня. Достаточно проанализировать полином факторов. Если хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Именно отсюда берутся корни. В заключение давайте решим несколько таких уравнений. x 2-7 x = 0,. 5 x 2 + 30 = 0; 4 x 2-9 = 0. x 2-7 x = 0 ⇒ x - (x - 7) = 0 ⇒ x1 = 0, x 2 = - ( - 7)/1 = 7. 5 x 2 + 30 = 0⇒5x 2 =-30⇒x2 = -6. Корня нет, так как квадрат не отрицательный. числу . 4 x 2-9 =0⇒4x 2 =9⇒x2 =9/4⇒x1 = 3/2 = 1. 5, x 2 = -1. 5. См. также. Теорема Виета Результаты теоремы Виета. Викторина по "Знахарской части числа » Метод коэффициентов, часть 1 Однородные тригонометрические уравнения: общее решение. Проблема B4: строительные группы Введение для студентов Молодежь-2023. Для студентов. 1. арифметика Арифметика Дроби Единство Проценты Корни Градусы Прогресс Проблемы с учебниками 2. алгебра Уравнения Системы уравнений Неравенства Системы неравенства Рациональные дроби Функции Полином Логарифм Экспонента Параметры Шанс 4. геометрия Треугольники Полигон Циклы Стереометрия Тело Математический анализ Тригонометрия Лимиты Деривативы Завершение Студент О себе. ©2010-2023 ИП Павел Бердов Инна 760708479500; Огрнип 309760424500020 Если вы хотите использовать материал, ссылка на сайт обязательна Телефон для связи: +7 (963) 963-99-33 - e-mail: pavel@berdov. com Карта сайта.